Die lin.Abb. hat üblicher Weise die Form eines LGL-Systems. Symb.:
(M)X
T=B
T .
Def.1: Matrix(M) ist eine Folge von r*k reellen Zahlen,
die in Rechteckform in r-Spalten und k-Zeilen angeordnet sind.
X,B sind Folgen von reellen Zahlen, also Elemente/Punkte des Eukl.Raumes.
Die Anordnung in Koord.Schreibweise waagerecht oder senkrecht(
T )
wird alternativ auch als Vektor (= Zeilen- oder Spaltenvektor) bezeichnet.
Folgerung: Wenn es um Abb. im R
m geht,
sind X und B m-anzahlige Folgen.
Die Verknüpfung einer Matrix mit Punkten des Raumes
ist zunächst eine links-seitige-skalare-Multiplikation, also Skapro(M
i,X),
M(i)= i-ter Zeilen-Vektor mit X-Spaltenvektor.
Da das Skapro() gleichlange Vektoren erfordert, muß M die Spalten-Zahl
m haben.
Ist bei einer (n,m) Matrix n>m, so ist das auch nicht sinnvoll, weil beim
Durchmultiplizieren (Skapro's(M
i,X) =b
i), ein längerer B-Vektor
erforderlich wäre, was aber durch B∈R
m ausgeschlossen ist.
Also kommen für lin.Abb. im R
m nur
(n,m)-Matrizen, n≤m in Frage.
Bei n-Zeilen, n<m, gibt es allerdings für B nur n-signifikante=feste Werte in der
Folge von m möglichen, was bedeutet, daß die fehlenden nicht festgelegt sind, und deshalb
den Spielraum für die Lösungs-Mannigfaltigkeit geben.
Beispiel: B=(b1,b2,b3,...) , hier sind nur 3 von m-Dim. vorgegeben, also hat der
Lös.-Raum (m-3)-Dim.
Def.2: Die lin.Abb. wird durch eine Matrix, wie zuvor
beschrieben, repräsentiert.
Eigenschaften von M =lin.Abb.:
Vol(M)=Det(M) gleich Null oder ungleich Null.
1. Ist Vol(M)≠0, (=m-dim Spat, welches von den (n=m)-Zeilen-
Vektoren von M aufgespannt wird), so handelt es sich um eine
vollst. Abbildung des Eukl.
Raumes in sich: R
m->R
m ,d.h., jeder Pkt. wird, (als Richtung betrachtet),
gestreckt/gestaucht und gedreht.
Beispiel1: R
2 als Gauß'sche Zahlen-Ebene, wo die z,w-Punkte
durch, z.B. eine konforme Abb.f, ebenfalls gedehnt/gedreht werden: w=f(z).
M kommt besonders in 2 Formen zur Anwendung:
Koord.Transform. und Lin.Komb.
Beispiel2: (M){e(i)} ={é(i)}, hier wird Koord.Basis {e1,,e2,...} in
eine andere, i.a. schiefwinklige, Koord.Basis {é1, é2,...} transformiert.
Beispiel3: Jeder Pkt.A des Raumes ist Lin.Komb der Basis-Vektoren
{e(i)} = a(1)e1 +a(2)e2 +... oder lin.Abb. M=Eins()*A
T:
(1 0 0 ... 0)
(0 1 0 ... 0)
(0 0 1 ... 0)
. .. . . . . .
(0 0 0 ... 1) =Eins()*A
T=A
Die Lin.komb./lin.Abb ist also eine Abb. des Raumes in sich, oder Operator()
im R
m, wie im Abschnitt 4.4 "Lineare Gleich. Systeme" bereits
angesprochen wurde.
Achtung: Da offenbar M Linien in Linien abbildet, heißt sie deshalb
auch:
Lineare Abbildung
Weitere Eigenschaft: Durch schrittweise Anwendung des Gauß-Algo
ändert sich am Ergebnis der M-Abb. nichts:
(M->M'->M'')X
T=B ,M'= Vielfaches einer Zeile
zu einer Anderen add, solange sich Vol()=Det() nicht ändert.
Folgerung: Man kann zu den verschiedenen Matrizen, die zu einer
lin.Abb. gehören, die Dreiecks-Matrix als Norm-Endzustand oder als Repäsentant
einer lin.Abb. betrachten.
Die Menge aller lin.Abb. (auf der Menge der m-Tupel reeller Zahlen) ist dann
unter diesem Aspekt betrachtet, selbst ein eigenständiger ,linearer-metrischer
Raum.
Ist M=Einheits-Matrix =Eins(), so folgt aus Eins()*X
T=X
T,
daß die Eins() als Eins-Element im Eukl.Raum fungiert.
2. Vol(M)=0: Dem m-dim Spat fehlen 1 oder mehere Dim., d.h.,
das m-dim Volumen ist betragsmäßig Null!
Das wiederum bedeutet: >1 Anz. Zeilen-Vektoren in M sind lin.abhängig und
können aus M entfernt werden, tragen also zur lin.Abb.
nichts bei.
Dies wiederum bedeutet, mann kann n=m-k setzen, k=Anz. unsinniger Zeilen.
Ist Vol(M)=0 , so folgt M =Matrix(n,m) , n <m.
Folgerung: M bildet nicht mehr den gesamten Raum ab, sondern
nur noch einen Unterraum in einen anderen Unterraum.
Im LGL-System macht sich das durch einen Lösungsraum, (m-n)-dim Hyperebene im
R
m, bemerkbar, siehe Beispiel hinter Abschnitt 4.5.
Jetzt kann man geometr. zu M einen Graph angeben:
Graph(M): { (x1,..,x(m)}: (M)X
T=B
T }
Man hat hier offenbar in der Menge von m-Variablen, nur n unabhängige
Variable und (m-n) von den anderen abhängige Variable.
Umgekehrt gilt: ist n=m, hat man
keinen Graph. (Lös.-Menge hat
Ausdehnung Null)
Beispiel: { (x,y): x-3y +4=0 }:
Interpretation: m=2, n=1, die (hier entartete) Det() ist 1/3,
Die (2-1)-dim Hyperebene im R
2 ist eine Greade, so daß der Graph
sich hier als eine Gerade in der Ebene durch die Pkt.(0,4/3) und (-4,0)
darstellt und den Anstieg 1y/3x hat.
Es können hier x,y(x) und x(y),y abhäng./unabhäng. Variable sein.
Bemerkung:
Wir werden später die allg. Graph-Definition einer Abbildung
zusätzlich auch auf nicht-Lineare Abbildungen, (=Funktionen), ausdehnen.