Beweis zu a)   Norm(h-Sn) ≤ Norm(h-h˜): ∥ h-Sn∥ = <h-Sn , h-Sn > = <h-Sum(<h, ej>ej) , h-Sum(<h, ej>ej) >            = <h,h> - <Sn,h> - <h,Sn> + Sum∣<h, ej>∣²            = <h,h> - (<h,Sn>° + <h,Sn>) + Sum ∣<h, ej>∣²            = <h,h> - 2·Re[<h,Sn>] + Sum ∣<h, ej>∣²               ----------------------------------------------------------                 <h,Sn> = Sum(<h, ej>°ej°<h, ek>ek ) = Sum(<h, ej>°<h, ek> ej°ek )                 = Sum( ∣<h, ej>∣² djk ) = Sum ∣<h, ej>∣² ·1               ----------------------------------------------------------            = <h,h> - 2·Sum ∣<h, ej>∣² + Sum ∣<h, ej>∣² = <h,h> - Sum ∣<h, ej>∣² ∥ h-h˜∥ = <h-h˜ , h-h˜ > = <h,h> - <h,h˜>° + <h,h˜> + Sum ∣ cj∣²            = <h,h> - 2·Re[<h,h˜>] +Sum ∣ cj∣²               ----------------------------------------------------------                <h,h˜> = <h ,Sum( cj ej) > = Sum( cj° <h , ej>) = Sum( cj <h , ej>°)                 =>   2·Re[<h,h˜>] = 2·Sum(Re[cj <h , ej>° ])               ----------------------------------------------------------     (1)     = <h,h> - 2·Sum( Re[ cj <h ,ej>°]) + Sum ∣ cj∣²         Berechnen des Re[ cj <h ,ej>°] , wenn cj = c'j + i·c"j   ist:                 = Re[ (c'j + i ·c"j)·( Re[<h ,ej>] + i·Im[<h ,ej>]) ]   , aus multiplizieren :                 = c'j Re[ <h ,ej>] + c"j Im[<h ,ej>]   , Einsetzen in  (1) :         =>   = <h,h> - 2·Sum(c'j Re[ <h ,ej>] ) - 2·Sum(c"j Im[<h ,ej>] ) + Sum(c'j² +c"j²)         Jetzt Index j festhalten und Re[<h ,ej>] =a und Im[<h ,ej>] =b  setzten:         =>   = <h,h> - 2c'a - 2c"b   + c'² +c"²   , Umordnen :             = <h,h> +(-2c'a + c'²) +(-2c"b + c"²)   , quadr. Ergänzung a²-a² b²-b² einsetzen :             = <h,h> +(-2c'a + c'² +a²) +(-2c"b + c"² +b²)   -a² -b²             = <h,h> +(c'-a)² +(c"-b)²   -(a² +b²)   , wegen (a² +b²) = ∣<h, ej>∣² , diesen Wert einsetzen :         und jetzt Index j wieder variabel lassen, sowie a,b zurück ersetzen:             = <h,h> + Sum(c'j-Re[ <h ,ej>])² + Sum(c"j-Im[<h ,ej>])²   - Sum ∣<h, ej>∣²         Die mittleren 2 Summen sind jeweils ≥0 , nur =0 , wenn die cj = <h ,ej> sind.         => h˜=Sn in diesem Fall. Fazit:   Daraus folgt insgesamt die Ungleichung a) Norm(h-Sn) ≤ Norm(h-h˜) . Das "=" -Zeichen nur, wenn h˜ mit Sn in der lin.Hülle L() identisch ist. Ende des Beweises © 2018 by   roland-reimann-behringen